Question

8．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，cosA），$\overrightarrow{n}$=（1，-10），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0
（Ⅰ）求tanA的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=cos2x+tanAsinx（x∈R）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平面向量的數(shù)量積以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式求tanA的值；
（Ⅱ）利用上面的結(jié)論，求解析式并化簡，轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx的二次函數(shù)的形式，根據(jù)sinx的范圍求二次函數(shù)的最值．

解答 解：（Ⅰ）由題意得sinA-10cosA=0（2分）
因?yàn)閏osA≠0，（3分）
所以tanA=10．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=10得f（x）=cos2x+10sinx（5分）
=1-2sin²x+10sinx（6分）
所以f（x）=-2（sinx-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{27}{2}$（7分）
因?yàn)閤∈R，所以sinx∈[-1，1]．（8分）
當(dāng)sinx=-1時，f（x）有最小值-11，（9分）
當(dāng)sinx=1時，f（x）有最大值9，（10分）
所以所求函數(shù)f（x）的值域是[-11，9]．（12分）

點(diǎn)評 本小題主要考查平面向量的數(shù)量積計(jì)算、三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、一元二次函數(shù)的最值等基本知識，考查運(yùn)算能力．