Question

已知

a

=（1，2），

b

=（-2，n），

a

與

b

的夾角是45°．
（1）求

b

；
（2）若

c

與

b

同向，且

a

與

c

-

a

垂直，求

c

．

Answer 1

分析：（1）利用向量夾角公式可得關(guān)于n的方程，解出n即得向量

b

；
（2）由

c

與

b

同向，可設(shè)

c

=λ

b

（λ＞0），利用向量垂直的充要條件可求得λ，代入即可求得

c

；

解答：解：（1）

a

•

b

=2n-2，|

a

|=

5

，|

b

|=

n2+4

，
∴cos45°=

2n-2

5 • n2+4

=

2

2

，
∴3n²-16n-12=0（n＞1），
解得n=6或n=-

2

3

（舍），∴

b

=（-2，6）．
（2）由（1）知，

a

•

b

=10，|

a

|²=5，
又

c

與

b

同向，故可設(shè)

c

=λ

b

（λ＞0），（

c

-

a

）•

a

=0，
∴λ

b

•

a

-|

a

|²=0，
∴λ=

| a |2

b • a

=

5

10

=

1

2

，∴

c

=

1

2

b

=（-1，3）．

點評：本題考查平面向量數(shù)量積的運算、利用數(shù)量積判斷兩向量的垂直關(guān)系，屬中檔題．