Question

19．在平面直角坐標系xOy中，曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ為參數(shù)，0≤φ＜2π）上的兩點A、B對應的參數(shù)分別為α，α+$\frac{π}{2}$．
（1）求AB中點M的軌跡的普通方程；
（2）求點O到直線AB的距離的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用中點坐標公式，即可求AB中點M的軌跡的普通方程；
（2）利用點到直線的距離公式求解和化簡即可．

解答 解：（1）設AB中點M（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{acosα-asinα}{2}}\\{y=\frac{bsinα+bcosα}{2}}\end{array}\right.$，
可得（$\frac{x}{a}$）²+（$\frac{y}$）²=$\frac{1-2sinαcosα}{4}$+$\frac{1+2sinαcosα}{4}$=$\frac{1}{2}$，
所以$\frac{2{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{2y}^{2}}{^{2}}=1$（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a≤x≤$\frac{1}{2}$a）；
（2）以坐標原點0為極點，x軸正半軸為極軸，且取相同的長度單位建立極坐標系，
所以有$\frac{{ρ}^{2}co{s}^{2}θ}{{a}^{2}}+\frac{{ρ}^{2}si{n}^{2}θ}{^{2}}=1$，
所以ρ²=$\frac{{a}^{2}^{2}}{^{2}co{s}^{2}θ+{a}^{2}si{n}^{2}θ}$，
設A（ρ₁，α），B（ρ₂，$α+\frac{π}{2}$），則|AB|=$\sqrt{{{ρ}_{1}}^{2}+{{ρ}_{2}}^{2}}$，
∴點O到AB直線的距離為$\frac{{ρ}_{1}{ρ}_{2}}{\sqrt{{{ρ}_{1}}^{2}+{{ρ}_{2}}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}+\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}}}$=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
∴點O到AB直線的距離為定值$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$．

點評 本題重點考查了參數(shù)方程、距離公式，考查極坐標系等知識，屬于中檔題．