Question

如圖等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥BD，M為AB的中點，矩形ABEF所在的平面和平面ABCD相互垂直．
（1）求證：AD⊥平面DBE
（2）設(shè)DE的中點為P，求證MP∥平面DAF
（3）若AB=2，AD=AF=1求三棱錐E-BCD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）要證線與面垂直，需先證明直線AF垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，因為矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，所以BC垂直于平面ABEF，從而AF垂直于BC，依題意，AF垂直于BF，從而命題得證．
（2）取DF的中點為N，由三角形中位線定理，MN平行CD且等于CD的一半，而OA也是如此，從而MN平行且等于OA，四邊形MNAO為平行四邊形，所以O(shè)M平行于AN，由線面平行的判定定理即可得證OM平行于平面DAF．
（3）先計算底面三角形BEF的面積，在等腰梯形ABEF中，可得此三角形的高為

3

2

，底EF為1，再計算三棱錐C-BEF的高，即為CB，最后由三棱錐體積計算公式計算即可．

解答： 證明：（1）∵面ABCD⊥面ABEF，
面ABCD∩面ABEF=AB，
∵矩形ABEF，
∴EB⊥AB，
∵EB?面ABEF，
∴EB⊥面ABCD，
∵AD?面ABCD，
∴EB⊥AD，AD⊥BD，BD∩BE=B，
∴AD⊥面BDE．
（2）取DF的中點N，連接PN，AN，
因為P為DE 的中點，
∴PN∥EF，PN=

1

2

EF，
∵M為AB的中點
∴AM∥EF，AM=

1

2

EF，即AM∥PN，AM=PN，
即四邊形AMPN為平行四邊形，
∴AN∥PM，
∵PM?面ADF，AN?面ADF，
所以MP∥平面DAF．
（3）∵AF=1，AD⊥BD，AB=2，
∴∠DAB=60°
過點C作CH⊥AB于H，則∠CBH=60°，
∴CH=

3

2

，CF=AB-2HB=1，
故S△BCF=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

．
∵EB⊥平面ABCD，
∴三棱錐E-BCD的高為EB=1，
∴V_E-BCD=

1

3

×S△BCD×BE=

1

3

×

3

4

×1=

3

12

．

點評：本題考查了線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的運用，線面平行的判定定理和性質(zhì)定理的運用，椎體體積計算公式及其計算方法，屬于中檔題．