Question

對(duì)于函數(shù)f（x）=x²-ax+a²-2a-3，有x₀∈[-1，0]，使得f（x₀）＞0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：把對(duì)于函數(shù)f（x）=x²-ax+a²-2a-3，有x₀∈[-1，0]，使得f（x₀）＞0成立，轉(zhuǎn)化為有x∈[-1，0]，使x²-ax+a²-2a-3＞0成立，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)f（x）的單調(diào)性，由a的不同范圍求出函數(shù)的最大值，由最大值大于0求得實(shí)數(shù)a的取值范圍得答案．

解答： 解：對(duì)于函數(shù)f（x）=x²-ax+a²-2a-3，有x₀∈[-1，0]，使得f（x₀）＞0成立，
即有x∈[-1，0]，使x²-ax+a²-2a-3＞0成立，
f′（x）=2x-a，
當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）≤0恒成立，f（x）在[-1，0]上為減函數(shù)，f(x)max=(-1)2+a+a2-2a-3=a2-a-2，
由a²-a-2＞0，得a＞2；
當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）=2x-a=0，得x=

a

2

，
若

a

2

≤-1，即a≤-2，則當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，f(x)max=f(0)=a2-2a-3，
由a²-2a-3＞0，得a＜-1或a＞3，則a≤-2；
若-1＜

a

2

＜0，即-2＜a＜0，則x∈(-1，

a

2

)時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
x∈(

a

2

，0)時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
∴f（x）_max=max{f（-1），f（0）}，
由f（-1）=f（0），得a²-a-2=a²-2a-3，解得：a=-1．
∴當(dāng)-2＜a≤-1時(shí)，f(x)max=f(0)=a2-2a-3，由a²-2a-3＞0，得a＜-1或a＞3，∴-2＜a＜1；
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，f(x)max=f(-1)=a2-a-2，由a²-a-2＞0，得a＞2，∴a∈∅．
綜上，使得f（x₀）＞0成立的a的取值范圍是（-∞，1）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，關(guān)鍵是對(duì)“對(duì)于函數(shù)f（x）=x²-ax+a²-2a-3，
有x₀∈[-1，0]，使得f（x₀）＞0成立的理解，屬難題．