Question

15．已知函數(shù)g（x）=λx+sinx定義在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上．
（1）若函數(shù)g（x）是增函數(shù)，求λ的最小值；
（2）當(dāng)λ=1時(shí)，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的極大值；
（3）當(dāng)λ≥0時(shí)，求證：不存在實(shí)數(shù)t，使得g（x）＞t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x），利用g′（x）≥0進(jìn)行求解即可．
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得g（x）＞t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立．將不等式轉(zhuǎn)化為求g（x）_min＞t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=λ+cosx，
若函數(shù)g（x）是增函數(shù)，則g′（x）=λ+cosx≥0恒成立，
即λ≥-cosx，
∵-$\frac{π}{2}$≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴0≤cosx≤1，
則-1≤-cosx≤0，則λ≥0，
即λ的最小值是0．
（2）當(dāng)λ=1，則g（x）=x+sinx，
g′（x）=1+cosx＞0，則g（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增，則函數(shù)無(wú)極大值．
（3）當(dāng)λ≥0時(shí)，g′（x）=λ+cosx，
當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，g′（x）=λ+cosx＞0，
即g（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，
∴g（x）_min=g（-1）=-λ-sin1．
若g（x）＞t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，
只需-λ-sin1＞t²+λt+1．
∴（t+1）λ+t²+sin1+1＜0，λ≥0恒成立．
令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1，
則$\left\{\begin{array}{l}{t+1≤0}\\{h（0）={t}^{2}+sin1+1＜0}\end{array}\right.$，
而t²+sin1+1＞0，則t²+sin1+1＜0，無(wú)解，
即不存在實(shí)數(shù)t，使得g（x）＞t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)恒成立問(wèn)題．一次函數(shù)的恒成立問(wèn)題一般要考慮一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)及區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)，屬于難題．