Question

6．已知函數(shù)f（x）=|log₂（ax）|在x∈[$\frac{1}{4}$，2]上的最大值為M（a），則M（a）的最小值是（　　）

• A． 2
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 對(duì)a討論，當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)$\frac{1}{2}$≤a＜1時(shí)，當(dāng)1≤a＜$\sqrt{2}$時(shí)，當(dāng)a≥$\sqrt{2}$時(shí)，通過(guò)圖象，比較f（$\frac{1}{4}$）和f（2）的大小，求得M（a）的范圍，即可得到最小值．

解答 解：0＜a＜1的圖象如右，
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f（$\frac{1}{4}$）=|log₂（$\frac{1}{4}$a）|
=log₂$\frac{4}{a}$，f（2）=log₂$\frac{1}{2a}$，f（$\frac{1}{4}$）＞f（2），
即有M（a）=log₂$\frac{4}{a}$∈（3，+∞），
當(dāng)$\frac{1}{2}$≤a＜1時(shí)，f（$\frac{1}{4}$）=|log₂（$\frac{1}{4}$a）|
=log₂$\frac{4}{a}$，f（2）=log₂（2a），f（$\frac{1}{4}$）＞f（2），
即有M（a）=log₂$\frac{4}{a}$∈（2，3]；
a≥1的圖象如右，
當(dāng)1≤a＜$\sqrt{2}$時(shí)，f（$\frac{1}{4}$）=|log₂（$\frac{1}{4}$a）|
=log₂$\frac{4}{a}$，f（2）=log₂（2a），f（$\frac{1}{4}$）＞f（2），
即有M（a）=log₂$\frac{4}{a}$∈（$\frac{3}{2}$，2）；
當(dāng)a≥$\sqrt{2}$時(shí)，f（$\frac{1}{4}$）=|log₂（$\frac{1}{4}$a）|
=log₂$\frac{4}{a}$，f（2）=log₂（2a），f（$\frac{1}{4}$）＜f（2），
即有M（a）=log₂（2a）∈[$\frac{3}{2}$，+∞）．
綜上可得M（a）的范圍是[$\frac{3}{2}$，+∞）．
則M（a）的最小值為$\frac{3}{2}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．