Question

已知數(shù)集A={a₁，a₂，…，a_n}，其中0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，且n≥3，若對?i，j（1≤i≤j≤n），a_j+a_i與a_j-a_i兩數(shù)中至少有一個屬于A，則稱數(shù)集A具有性質(zhì)P．
（Ⅰ）分別判斷數(shù)集{0，1，3}與數(shù)集{0，2，4，6}是否具有性質(zhì)P，說明理由；
（Ⅱ）已知數(shù)集A={a₁，a₂，…，a₈}具有性質(zhì)P．
①求證：0∈A；
②判斷數(shù)列a₁，a₂，…，a₈是否為等差數(shù)列，若是等差數(shù)列，請證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的應用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列：a₁，a₂，…a_n（0≤a₁＜a₂…＜a_n），n≥3時具有性質(zhì)P，對任意i，j（1≤i≤j≤n），a_j+a_i與a_j-a_i兩數(shù)中至少有一個是該數(shù)列中的一項，逐一驗證；
（Ⅱ）①）根據(jù)a₁、a₂、…a_n的大小關系和性質(zhì)P，可得a_n+a_n=2a_n＞a_n，則a_n-a_n=0=a₁∈A；
②根據(jù)數(shù)集A={a₁，a₂…a₈}具有性質(zhì)P，可得a_i+a_9-i=a₈ ，a_i+a_8-i=a₇ ，由此可知a_i=a₈-a_9-i=a₈-（a₇-a_i-1），即a_i-a_i-1=a₈-a₇，從而得到a₁，a₂，…a₈構成等查數(shù)列．

解答： 解：（Ⅰ）∵對任意i，j（1≤i≤j≤n），a_j+a_i與a_j-a_i兩數(shù)中至少有一個是該數(shù)列中的項，
∴數(shù)列0，1，3中，a₂+a₃=1+3=4和a₃-a₂=3-1=2都不是該數(shù)列中的數(shù)；數(shù)列0，2，4，6，a_j+a_i與a_j-a_i（1≤i≤j≤3）兩數(shù)中都是該數(shù)列中的項，并且a₄-a₃=2是該數(shù)列中的項，
∴數(shù)集{0，1，3}不具有性質(zhì)P，數(shù)集{0，2，4，6}具有性質(zhì)P；
（Ⅱ）①證明：∵0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n∈N^*，n≥3，
∴a_n+a_n=2a_n＞a_n，則a_n-a_n=0=a₁∈A，
②∵A={a₁，a₂，…，a₈}具有性質(zhì)P，所以a₈+a₈與a₈-a₈中至少有一個屬于A，
由0≤a₁＜a₂＜…＜a₈，有a₈+a₈＞a₈，故a₈+a₈∉A，∴0=a₈-a₈∈A，故a₁=0．
∵0=a₁＜a₂＜…＜a₈，∴a₈+a_k＞a₈，故a₈+a_k∉A（k=2，3，…，8）．
由A具有性質(zhì)P知，a₈-a_k∈A（k=2，3，…，8）．
又∵a₈-a₈＜a₈-a₇＜…＜a₈-a₂＜a₈-a₁，
∴a₈-a₈=a₁，a₈-a₇=a₂，…，a₈-a₂=a₇，a₈-a₁=a₈，即a_i+a_9-i=a₈（i=1，2，…，8）．…（1）
由a₂+a₇=a₈知，a₃+a₇，a₄+a₇，…，a₇+a₇均不屬于A，
由A具有性質(zhì)P，a₇-a₃，a₇-a₄，…，a₇-a₇均屬于A，
∴a₇-a₇＜a₇-a₆＜…＜a₇-a₄＜a₇-a₃＜a₈-a₃ ，
∴a₇-a₇=0，a₇-a₆=a₂，a₇-a₅=a₃，…，a₇-a₃=a₅，即 a_i+a_8-i=a₇（i=1，2…7）．…（2）
由（1）（2）可知a_i=a₈-a_9-i=a₈-（a₇-a_i-1）  （i=1，2…7，8），
即a_i-a_i-1=a₈-a₇（i=2，3，…，8）．
故a₁，a₂，…a₈構成等查數(shù)列．

點評：本題考查數(shù)列的綜合應用，考查等差關系的確定，等差數(shù)列的定義，新定義，此題能很好的考查學生的應用知識分析、解決問題的能力，側重于對能力的考查，屬中檔題．