已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），設左頂點為A，上頂點為B，且
OF
•
FB
=
AB
•
BF
，如圖所示．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若點A與橢圓上的另一點C（非右頂點）關于直線l對稱，直線l上一點N（0，y0）滿足
NA
•
NC
=0，求點C的坐標．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）由已知條件得A（-a，0），B（0，b），F(xiàn)（1，0），由
OF
•
FB
=
AB
•
BF
，推導出b2-a-1=0，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）先求出l的方程，可得N的坐標，再利用
NA
•
NC
=0，即可求點C的坐標．
解答： 解：（Ⅰ）由題意，A（-a，0），B（0，b），F(xiàn)（1，0），
∵
OF
•
FB
=
AB
•
BF
，
∴b2-a-1=0，
∵b2=a2-1，∴a2-a-2=0，解得a=2，
∴a2=4，b2=3，
∴橢圓E的方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（Ⅱ）設C（x1，y1）（y1≠0），且A（-2，0），則AC的中點M（
x1-2
2
，
y1
2
），
由已知kAC=
y1
x1+2
，則kl=-
x1+2
y1
，
∴l(xiāng)：y-
y1
2
=-
x1+2
y1
（x-
x1-2
2
），
令x=0，則y0=
x12-4+y12
2y1
=-
y1
6
，
即N（0，-
y1
6
），
∴
NA
•
NC
=（-2，
y1
6
）•（x1，
7y1
6
）=-2x1+
7y12
36
=0，
∴7x12+96x1-28=0
∴x1=
2
7
（x1=-14舍去），
∴y1=±
12
7
，
∴C（
2
7
，±
12
7
）．
點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知ω＞0，|φ|＜
π
2
，函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）的部分圖象如圖所示．為了得到函數(shù)g（x）=sinωx的圖象，只要將f（x）的圖象（　�。�
A、向右平移
π
4
個單位長度
B、向右平移
π
8
個單位長度
C、向左平移
π
4
個單位長度
D、向左平移
π
8
個單位長度

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某港灣的平面示意圖如圖所示，O，A，B分別是海岸線l1，l2上的三個集鎮(zhèn)，A位于O的正南方向6km處，B位于O的北偏東60°方向10km處．
（Ⅰ）求集鎮(zhèn)A，B間的距離；
（Ⅱ）隨著經(jīng)濟的發(fā)展，為緩解集鎮(zhèn)O的交通壓力，擬在海岸線l1，l2上分別修建碼頭M，N，開辟水上航線．勘測時發(fā)現(xiàn)：以O為圓心，3km為半徑的扇形區(qū)域為淺水區(qū)，不適宜船只航行．請確定碼頭M，N的位置，使得M，N之間的直線航線最短．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的上頂點為B2，右焦點為F2，△B2OF2為等腰直角三角形（O為坐標原點），拋物線y2=4
2
x的焦點恰好是該橢圓的右頂點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點B1，B2分別是橢圓的下頂點和上頂點，點P是橢圓上異與B1，B2的點，求證：直線PB1和直線PB2的斜率之積為定值．
（3）已知圓M：x2+y2=
2
3
的切線l與橢圓相交于C，D兩點，那么以CD為直徑的圓是否經(jīng)過定點？如果是，求出定點的坐標；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

橢圓C2的方程為
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0），離心率為
2
2
，且短軸一端點和兩焦點構(gòu)成的三角形面積為1，拋物線C1的方程為y2=2px（p＞0），焦點F與拋物線的一個頂點重合．
（Ⅰ）求橢圓C2和拋物線C1的方程；
（Ⅱ）過點F的直線交拋物線C1于不同兩點A，B，交y軸于點N，已知
NA
=λ1
AF
，
NB
=λ2
BF
，求λ1+λ2的值．
（Ⅲ）直線l交橢圓C2于不同兩點P，Q，P，Q在x軸上的射影分別為P′，Q′，滿足
OP
•
OQ
+
OP′
•
OQ′
+1=0（O為原點），若點S滿足
OS
=
OP
+
OQ
，判定點S是否在橢圓C2上，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
r2
b2
=1（a＜b＜0）的離心率為
1
2
，橢圓C的中心O關于直線2x-y-5=0的對稱點落在直線x=a2上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設P（4，0）是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩點，連接PN交橢圓C于另一點E，求直線PN的斜率范圍并證明直線ME與x軸相交頂點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若
e1
，
e2
為基底向量，且
AB
=
e1
-k
e2
，
CB
=
e1
+
e2
，
CD
=3
e1
-
e2
，若A、B、D三點共線，求實數(shù)k的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)集A={a1，a2，…，an}，其中0≤a1＜a2＜…＜an，且n≥3，若對?i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai與aj-ai兩數(shù)中至少有一個屬于A，則稱數(shù)集A具有性質(zhì)P．
（Ⅰ）分別判斷數(shù)集{0，1，3}與數(shù)集{0，2，4，6}是否具有性質(zhì)P，說明理由；
（Ⅱ）已知數(shù)集A={a1，a2，…，a8}具有性質(zhì)P．
①求證：0∈A；
②判斷數(shù)列a1，a2，…，a8是否為等差數(shù)列，若是等差數(shù)列，請證明；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項a1=a，其前n和為Sn，且滿足Sn+Sn-1=3n2（n≥2）．若對任意的n∈N*，an＜an+1恒成立，則a的取值范圍是
 
．

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