Question

已知函數(shù)

(I)當a=1時,求函數(shù)f(x)的最小值;

(II)當a≤0時,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(III)是否存在實數(shù)a,對任意的x₁,x₂(0,+∞),且x₁≠x₂,都有恒成立.若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(I)-2ln2

(II)當時，和為單調(diào)增區(qū)間，為單調(diào)減區(qū)間；當a=-2時，為單調(diào)增區(qū)間；當a<-2時，和為單調(diào)增區(qū)間，為單調(diào)減區(qū)間.

(III)存在.

【解析】

試題分析：(I)  首先確定函數(shù)的定義域，然后求導，根據(jù)函數(shù)導函數(shù)的性質(zhì)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷極小值就是最小值，求出即可. (II) 求導、同分整理得.再分當或當a=-2或a<-2時，判斷的符號，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可. (III) 假設存在實數(shù)a使得對任意的，且，都有恒成立. 不妨設，使得，即，構(gòu)造函數(shù)令，利用導函數(shù)求出滿足函數(shù)g（x）在為增函數(shù)的a取值范圍即可.

試題解析：解：(I)定義域為，當a=1時，，所以當時，，，所以f（x）在x=2時取得最小值，其最小值為.

(II) 因為，所以

（1）當時，若，，f（x）為增函數(shù)；時，，f（x）為減函數(shù)；時， ，f（x）為增函數(shù)；

（2）當a=-2時，，f（x）為增函數(shù)；

（3）當a<-2時，時， ，f（x）為增函數(shù)；時,，f（x）為減函數(shù)；, ，f（x）為增函數(shù)；

(III)假設存在實數(shù)a使得對任意的，且，都有恒成立，不妨設，使得，即，

令，只要g（x）在為增函數(shù)，考察函數(shù)，要使在恒成立.只需，即，故存在實數(shù)符合題意.

考點：1.導數(shù)法；2.函數(shù)的單調(diào)性；3、不等式恒成立.