Question

點P在圓x²+y²=2上移動，PQ⊥x軸于Q，動點M滿足

QP

=

2QM

，
（Ⅰ）求動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若動直線x-

2

y+m=0與曲線C交于A，B兩點，在第一象限內(nèi)曲線C上是否存在一點M使MA與MB的斜率互為相反數(shù)？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)動點M（x，y），P（x₀，y₀），則Q（x₀，0），由

QP

=

2 OM

，得（0，y0 ）=

2

(x-x0，y)，從而得到

x0=x y0= 2 y

，代入x02+y02=2，能求出動點M所在曲線C的方程．
（Ⅱ）由

x- 2 y+m=0 x2+2y2=2

，得2x²+2mx+m²-2=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由此利用根的判別式和韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出存在M（1，

2

2

），使MA，MB的斜率互為相反數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)動點M（x，y），P（x₀，y₀），則Q（x₀，0），
由

QP

=

2 OM

，得（0，y0 ）=

2

(x-x0，y)，
∴

2 (x-x0)=0 2 y=y0

，解得

x0=x y0= 2 y

，
代入x02+y02=2，得x²+2y²=2．
∴動點M所在曲線C的方程為

x2

2

+y2=1．…（5分）
（Ⅱ）由

x- 2 y+m=0 x2+2y2=2

，得2x²+2mx+m²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直線與曲線交于兩點，
∴

△=4m2-8(m2-2)＞0 x1+x2=-m x1x2= m2-2 2

，
∴y1+y2=

2

2

(x1+x2+2m)=

2

2

m，
y1y2=

1

2

(x1+m)(x2+m)=

m2-2

4

，
假設(shè)存在M（x′，y′）使MA的斜率與MB的斜率互為相反數(shù)，即k_MA+k_MB=0，

y′-y1

x′-x1

+

y′-y2

x′-x2

=

2x′y′-y′(x1+x2)+x2y1+x1y2

(x′-x1)(x′-x2)

=0，
2x′y′-y′(x1+x2)-x′(y1+y2)+x2y1+x1y2=0，
2x′y′-y′(x1+x2)-x′(y1+y2)+2

2

y1y2-m(y1+y2)=0，
2x′y′+my′-

2

2

mx′-

2

=0，
m（y′-

2

2

x′）+2x′y′-

2

=0．…（9分）
∵與m無關(guān)，∴

y′- 2 2 x′=0 2x′y′- 2 =0

，
又M在第一象限，∴x′=1．y′=

2

2

，…（11分）
又M（1，

2

2

）在曲線C上，
故存在M（1，

2

2

），使MA，MB的斜率互為相反數(shù)．…（12分）

點評：本題考查定點軌跡方程的求法，考查使兩條直線的斜率互為相反數(shù)的點的坐標(biāo)是否存在的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．