Question

已知f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)k的值．
（2）證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)b，函數(shù)y=f（x）圖象與直線y=-

3

2

x+b最多只有一個(gè)公共點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn),函數(shù)圖象的作法,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；
（2）由（1）中結(jié)論，可以得到函數(shù)的解析式，構(gòu)造函數(shù)y=log₄（4^x+1）-x，分析出函數(shù)的單調(diào)性及值域，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定方法，我們易確定b取不同值時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而得到答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
∴f（-x）=f（x）
即log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx
∵log₄（4^-x+1）=log₄（

4x+1

4x

）=log₄（4^x+1）-log₄4^x=log₄（4^x+1）-x，
∴l(xiāng)og₄（4^x+1）-（k+1）x=log₄（4^x+1）+kx，
即2k+1=0
∴k=-

1

2

證明：（2）由（1）得f（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x
令y=log₄（4^x+1）-x
由于y=log₄（4^x+1）-x為減函數(shù)，且恒為正
故當(dāng)b＞0時(shí)，y=log₄（4^x+1）+

3

2

x-b有唯一的零點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)y=f（x）的圖象與直線有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)b≤0時(shí)，y=log₄（4^x+1）+

3

2

x-b沒有零點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)y=f（x）的圖象與直線沒有交點(diǎn)
對(duì)任意的實(shí)數(shù)b，函數(shù)y=f（x）圖象與直線y=-

3

2

x+b最多只有一個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了偶函數(shù)的性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想，由于綜合考查了多個(gè)函數(shù)的難點(diǎn)，屬于難題