【題目】已知直線(xiàn)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn),且交橢圓于A,B兩點(diǎn),線(xiàn)段AB的中點(diǎn)是,
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l與線(xiàn)段AB相交(不含端點(diǎn))且交橢圓于C,D兩點(diǎn),求四邊形面積的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)由直線(xiàn)可得橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,由中點(diǎn)可得,且由斜率公式可得,由點(diǎn)在橢圓上,則,二者作差,進(jìn)而代入整理可得,即可求解;
(2)設(shè)直線(xiàn),點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,則四邊形的面積為,將代入橢圓方程,再利用弦長(zhǎng)公式求得,利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離求得,根據(jù)直線(xiàn)l與線(xiàn)段AB(不含端點(diǎn))相交,可得,即,進(jìn)而整理?yè)Q元,由二次函數(shù)性質(zhì)求解最值即可.
(1)直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn),所以橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,故,
因?yàn)榫(xiàn)段AB的中點(diǎn)是,
設(shè),則,且,
又,作差可得,
則,得
又,
所以,
因此橢圓的方程為.
(2)由(1)聯(lián)立,解得或,
不妨令,易知直線(xiàn)l的斜率存在,
設(shè)直線(xiàn),代入,得,
解得或,
設(shè),則,
則,
因?yàn)?/span>到直線(xiàn)的距離分別是,
由于直線(xiàn)l與線(xiàn)段AB(不含端點(diǎn))相交,所以,即,
所以,
四邊形的面積,
令,,則,
所以,
當(dāng),即時(shí),,
因此四邊形面積的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,邊長(zhǎng)為a的空間四邊形ABCD中,∠BCD=90°,平面ABD⊥平面BCD,則異面直線(xiàn)AD與BC所成角的大小為( 。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖四棱錐中,底面,是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,且,,點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn).
(I)求證:平面平面;
(Ⅱ)當(dāng)線(xiàn)段最小時(shí),求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求的零點(diǎn)及單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:曲線(xiàn)存在斜率為8的切線(xiàn),且切點(diǎn)的縱坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫(xiě)出直線(xiàn)和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程;
(2)過(guò)動(dòng)點(diǎn)且平行于的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于兩點(diǎn),若,求動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)的最近距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的五面體中,面為直角梯形, ,平面平面, , 是邊長(zhǎng)為2的正三角形.
(1)證明: 平面;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓,點(diǎn),,分別為橢圓的左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)和下頂點(diǎn),的面積為,且橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn),直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn),,且(點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,,,給出以下四個(gè)命題:①為偶函數(shù);②為偶函數(shù);③的最小值為0;④有兩個(gè)零點(diǎn).其中真命題的是( ).
A.②④B.①③C.①③④D.①④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若當(dāng)時(shí),取得極值,求的值,并求的單調(diào)區(qū)間.
(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍,并證明:.
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