Question

【題目】甲、乙、丙三支球隊(duì)進(jìn)行某種比賽，其中兩隊(duì)比賽，另一隊(duì)當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)方在下一局當(dāng)裁判．設(shè)各局比賽雙方獲勝的概率均為 ，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，且沒有平局，根據(jù)抽簽結(jié)果第一局甲隊(duì)當(dāng)裁判
（1）求第四局甲隊(duì)當(dāng)裁判的概率；
（2）用X表示前四局中乙隊(duì)當(dāng)裁判的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：第一局無論誰(shuí)輸，第二局都由甲隊(duì)上場(chǎng)，第四局甲隊(duì)當(dāng)裁判（記為事件A），

第三局甲隊(duì)參加比賽（不能當(dāng)裁判）且輸?shù)簦ㄓ洖槭录嗀2），可知第二局甲隊(duì)參加比賽且獲勝（記為事件A1），

∴A1和A2都發(fā)生，A才發(fā)生，即P（A）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）= ．

（2）解：由題意S的所有可能取值為0，1，2，

記“第三局乙丙比賽，乙勝丙”為事件A3，“第一局比賽，乙勝丙”為事件B1，

“第二局乙甲比賽，乙勝甲”為事件B2，“第三局比賽乙參加比賽，乙負(fù)”為事件B3，

∴P（X=0）=P（B1B2A3）=P（B1）P（B2）P（A3）= ，

P（X=2）=P（ ）=P（ ）P（B3）= ，

P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）= ，

∴X的分布列為：

X	0	1	2
P

∴E（X）= = ．

【解析】（1）第一局無論誰(shuí)輸，第二局都由甲隊(duì)上場(chǎng)，第四局甲隊(duì)當(dāng)裁判（記為事件A），第三局甲隊(duì)參加比賽（不能當(dāng)裁判）且輸?shù)簦ㄓ洖槭录嗀2），可知第二局甲隊(duì)參加比賽且獲勝（記為事件A1），A1和A2都發(fā)生，A才發(fā)生，由此能求出第四局甲隊(duì)當(dāng)裁判的概率．（2）由題意S的所有可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)，掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列．