Question

（09年湖北鄂州5月模擬理）（12分）如圖，已知四棱錐P―ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60^o，E、F 分別是BC、PC的中點．

⑴證明：AE⊥PD；

⑵若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正
切值為，求二面角E―AF―C的余弦值．

Answer 1

解析：⑴連結(jié)AC，△ABC為正△，又E為BC中點，∴AE⊥BC又AD∥BC

∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD

故AD為PD在平面ABCD內(nèi)的射影，由三垂線定理知：AE⊥PD。         4分

⑵連HA，由EA⊥平面PAD知∠AHE為EH與平面PAD所成線面角            5分

而tan∠AHE＝故當(dāng)AH最小即AH⊥PD時EH與平面PAD所成角最大

                                                                                                               6分

令AB＝2，則AE＝，此時

∴AH＝，由平幾知識得PA＝2                                                          7分

因為PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD

過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC

過O作OS⊥AF于S，連結(jié)ES，則∠ESO

為二面角E―AF―C的平面角                                                                  9分

在Rt△AOE中，EO＝AE?sin30°＝，AO＝AE?cos30°＝

又F是PC的中點，在Rt△ASO中，SO＝AO?sin45°＝

又SE＝，在Rt△ESO中，cos∠ESO＝

即所求二面角的余弦值為                                                                                      12分

注：向量法及其它方法可參照給分。