Question

16．曲線y=lnx+x-1上的點(diǎn)到直線2x-y+3=0的最短距離是（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $2\sqrt{5}$
• C． $3\sqrt{5}$
• D． 0

Answer 1

分析 設(shè)與曲線y=lnx+x-1上相切且與直線2x-y+3=0平行的直線方程為2x-y+m=0，切點(diǎn)P（x₀，y₀）．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答 解：設(shè)與曲線y=lnx+x-1上相切且與直線2x-y+3=0平行的直線方程為2x-y+m=0，切點(diǎn)P（x₀，y₀）．
∵y′=$\frac{1}{x}$+1，∴$\frac{1}{{x}_{0}}+1$=2，解得x₀=1，可得切點(diǎn)P（1，0）．
點(diǎn)P到直線2x-y+3=0的距離d=$\frac{|2-0+3|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$．
∴曲線y=lnx+x-1上的點(diǎn)到直線2x-y+3=0的最短距離是$\sqrt{5}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．