Question

3．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數(shù)列，若tan B=$\frac{3}{4}$，$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosC}{sinC}$的值為（　　）

• A． $\frac{5}{4}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 由等比數(shù)列的性質(zhì)可得b²=ac，由正弦定理可得：sin²B=sinAsinC，由tan B=$\frac{3}{4}$，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得cosB，sinB的值，化簡(jiǎn)所求即可計(jì)算得解．

解答 解：∵a，b，c成等比數(shù)列，可得：b²=ac，
∴由正弦定理可得：sin²B=sinAsinC，
又∵tan B=$\frac{3}{4}$，可得B∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cosB=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}B}}$=$\frac{4}{5}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$
∴$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{cosAsinC+sinAcosC}{sinAsinC}$=$\frac{sin（A+C）}{sinAsinC}=\frac{sinB}{sinAsinC}$=$\frac{sinB}{si{n}^{2}B}$=$\frac{1}{sinB}$=$\frac{5}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．