Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2c•cosB=2a+b，若△ABC的面積為S=

3

2

c，則ab的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：解三角形

分析：由條件里用正弦定理、兩角和的正弦公式求得cosC=-

1

2

，C=

2π

3

．根據(jù)△ABC的面積為S=

1

2

ab•sinC=

3

2

c，求得c=

1

2

ab．再由余弦定理化簡可得

1

4

a²b²=a²+b²+ab≥3ab，由此求得ab的最小值．

解答： 解：在△ABC中，由條件里用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，
即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，∴cosC=-

1

2

，C=

2π

3

．
由于△ABC的面積為S=

1

2

ab•sinC=

3

4

ab=

3

2

c，∴c=

1

2

ab．
再由余弦定理可得c²=a²+b²-2ab•cosC，整理可得

1

4

a²b²=a²+b²+ab≥3ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號，∴ab≥12，
故答案為：12．

點(diǎn)評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式、基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．