Question

已知函數(shù)f（x）=kx²+lnx，若f（x）＜0在函數(shù)定義域內(nèi)恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值，由最大值小于0求得k的范圍．

解答： 解：由f（x）=kx²+lnx（x＞0），得f′(x)=2kx+

1

x

=

2kx2+1

x

，
當(dāng)k≥0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
又當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞．不滿足f（x）＜0在函數(shù)定義域內(nèi)恒成立；
當(dāng)k＜0時(shí)，由f′（x）=0，解得x=±

- 1 2k

．
當(dāng)x∈（0，

- 1 2k

）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（

- 1 2k

，+∞）時(shí)，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，

- 1 2k

）上為增函數(shù)，在（

- 1 2k

，+∞）上為減函數(shù)，
∴f(x)max=f(

- 1 2k

)=k•(

- 1 2k

)2+ln

- 1 2k

=-

1

2

+ln

- 1 2k

．
由-

1

2

+ln

- 1 2k

＜0，得ln

- 1 2k

＜

1

2

，即k＜-

1

2e

．
∴k的取值范圍是（-∞，-

1

2e

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了恒成立問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．