Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F₂（1，0），點H（2，

2 10

3

）在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）點M在圓x²+y²=b²上，且M在第一象限，過M作圓x²+y²=b²的切線交橢圓于P，Q兩點，問：△PF₂Q的周長是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F₂（1，0），點H（2，

2 10

3

）在橢圓上，建立方程組，可得a值，進(jìn)而求出b值后，可得橢圓方程；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分別求出|F₂P|，|F₂Q|，結(jié)合相切的條件可得|PM|²=|OP|²-|OM|²求出|PQ|，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F₂（1，0），點H（2，

2 10

3

）在橢圓上，
∴由題意，得

a2-b2=1 4 a2 + 40 9b2 =1

，…（2分）
解得a=3，b=2

2

…（4分）
∴橢圓方程為

x2

9

+

y2

8

=1．…（5分）
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

x12

9

+

y12

8

=1（|x₁|≤3）
∴|PF₂|²=（x₁-1）²+y₁²=

1

9

（x₁-9）²，
∴|PF₂|=3-

1

3

x₁，------------------------（8分）
連接OM，OP，由相切條件知：
|PM|²=|OP|²-|OM|²=x₁²+y₁²-8=

1

9

x₁²，
∴|PM|=

1

3

x₁，
∴|PF₂|+|PM|=3----------------------------------（11分）
同理可求|QF₂|+|QM|=3
∴|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|=6為定值．…（12分）

點評：本題考查的知識點是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系，直線與橢圓的位置關(guān)系，熟練掌握橢圓的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．