Question

如圖所示，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F₂（1，0），點(diǎn)A（1，

3

2

）在橢圓上．
（1）求橢圓方程；
（2）點(diǎn)M（x₀，y₀）在圓x²+y²=b²上，點(diǎn)M在第一象限，過點(diǎn)M作圓x²+y²=b²的切線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，問|

F2P

|+|

F2Q

|+|

PQ

|是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）由已知中橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F₂（1，0），可得c值，點(diǎn)H（1，

3

2

）在橢圓上，可得a值，進(jìn)而求出b值后，可得橢圓方程；
（II）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分別求出|F₂P|，|F₂Q|，結(jié)合相切的條件可得|PM|²=|OP|²-|OM|²求出|PQ|，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵右焦點(diǎn)為F₂（1，0），∴c=1
∴左焦點(diǎn)為F₁（1，0），點(diǎn)H（1，

3

2

）在橢圓上，
∴2a=|HF₁|+|HF₂|=4，
∴a=2，
∴b=

a2-c2

=

3

∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1----------------（5分）
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

x12

4

+

y12

3

=1（|x₁|≤2）
∴|PF₂|²=（x₁-1）²+y₁²=

1

4

（x₁-4）²，
∴|PF₂|=2-

1

2

x₁，------------------------（8分）
連接OM，OP，由相切條件知：
|PM|²=|OP|²-|OM|²=x₁²+y₁²-3=

1

4

x₁²，
∴|PM|=

1

2

x₁，
∴|PF₂|+|PM|=2----------------------------------（11分）
同理可求|QF₂|+|QM|=2
∴|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|=4為定值．-------------（13分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系，直線與橢圓的位置關(guān)系，熟練掌握橢圓的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．