Question

15．設(shè)a，b＞0，且a≠b，求證：a³+b³＞a²b+ab²．

Answer 1

分析 本題可用分析法與綜合法來(lái)解答：法一，分析法：證明使a³+b³＞a²b+ab²成立的充分條件成立．
法二，綜合法：由條件a≠b推出：a²-2ab+b²＞0，通過(guò)變形，應(yīng)用不等式的性質(zhì)可證出結(jié)論．

解答 證明：法一：（分析法）a³+b³＞a²b+ab² 成立，
只需證（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b）成立．
又因?yàn)閍＞0，故只需證a²-ab+b²＞ab成立，
而依題設(shè)a≠b，則（a-b）²＞0顯然成立，由此命題得證．
法二：（綜合法）∵a≠b，∴a-b≠0，∴a²-2ab+b²＞0，∴a²-ab+b²＞ab（*）．
而a，b均為正數(shù)，∴a+b＞0，∴（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b）
∴a³+b³＞a²b+ab² 成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用分析法和綜合法證明不等式，此題還可用比較法證明，體會(huì)不同方法間的區(qū)別聯(lián)系，屬于中檔題．