Question

17．在△ABC中角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且$\frac{asinA+bsinB-csinC}{sinBsinC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，a=2$\sqrt{3}$，若b∈[1，3]，則c的最小值為3．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得：$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{ab}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC，結合余弦定理，可得3cosC=$\sqrt{3}$sinC，從而可求tanC，利用同角三角函數基本關系式可求cosC，從而可求c²=b²-2$\sqrt{3}$b-12=（b-$\sqrt{3}$）²+9，結合范圍b∈[1，3]，利用二次函數的圖象和性質即可解得c的最小值．

解答 解：∵$\frac{asinA+bsinB-csinC}{sinBsinC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴由正弦定理可得：$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{ab}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC，整理可得：a²+b²-c²=$\frac{2\sqrt{3}absinC}{3}$，
又∵由余弦定理可得：a²+b²-c²=2abcosC，
∴2abcosC=$\frac{2\sqrt{3}absinC}{3}$，整理可得：3cosC=$\sqrt{3}$sinC，
∴解得：tanC=$\sqrt{3}$，cosC=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}C}}$=$\frac{1}{2}$，
∴c²=b²-2$\sqrt{3}$b-12=（b-$\sqrt{3}$）²+9，
∵b∈[1，3]，
∴當b=$\sqrt{3}$時，c取最小值為3．
故答案為：3．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函數基本關系式，二次函數的圖象和性質在解三角形中的應用，考查了轉化思想和數形結合思想的應用，屬于中檔題．