Question

已知雙曲線＝1的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離等于，過右焦點(diǎn)F2的直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)．

(1)求雙曲線的方程；

(2)若△F1AB的面積等于6，求直線l的方程．

 

Answer 1

（1）x2－＝1（2）y＝±(x－2)

【解析】學(xué)生錯【解析】
【解析】
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(xiàn)(2，0)，直線l：y＝k(x－2)，

由消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，

△F1AB的面積S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|＝2|k|·＝6，k4＋8k2－9＝0，k2＝1，k＝±1，所以直線l的方程為y＝±(x－2)．

審題引導(dǎo)：(1)直線與雙曲線相交問題時的處理方法；(2)△F1AB面積的表示．

規(guī)范解答：【解析】
(1)依題意，b＝，＝2?a＝1，c＝2，(4分)

∴雙曲線的方程為x2－＝1.(6分)

(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(xiàn)2(2，0)，直線l：y＝k(x－2)，

由消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，(8分)

k≠±時，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，(10分)

△F1AB的面積S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|·＝2|k|·＝6，k4＋8k2－9＝0，k2＝1，k＝±1，(14分)

所以直線l的方程為y＝±(x－2)．(16分)

錯因分析：解本題時容易忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為零，即k≠±這一條件