Question

已知曲線C上動點P(x，y)到定點F1(，0)與定直線l1∶x＝的距離之比為常數(shù).

(1)求曲線C的軌跡方程；

(2)以曲線C的左頂點T為圓心作圓T：(x＋2)2＋y2＝r2(r>0)，設(shè)圓T與曲線C交于點M與點N，求·的最小值，并求此時圓T的方程．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1（2）(x＋2)2＋y2＝

【解析】(1)過點P作直線的垂線，垂足為D.

，所以該曲線的方程為＋y2＝1.

(2)點M與點N關(guān)于x軸對稱，設(shè)M(x1，y1)，N(x1，－y1)，不妨設(shè)y1>0.由于點M在橢圓C上，所以＝1－.由已知T(－2，0)，則＝(x1＋2，y1)，＝(x1＋2，－y1)，∴·＝(x1＋2，y1)·(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－＝(x1＋2)2－＝＋4x1＋3＝·－.由于－2<x1<2，故當x1＝－時，·取得最小值為－.計算得，y1＝，故M.

又點M在圓T上，代入圓的方程得到r2＝.故圓T的方程為(x＋2)2＋y2＝