Question

1．三棱錐S-ABC中，△SAB和△ABC是邊長為2$\sqrt{3}$的正三角形，二面角S-AB-C的平面角為60°，若S，A，B，C都在同一個球面上，則該球的表面積為（　�。�

• A． $\frac{52π}{3}$
• B． $\frac{44π}{3}$
• C． 16π
• D． 20π

Answer 1

分析 如圖所示，取AB的中點(diǎn)E，則SE⊥AB，CE⊥AB，SE=CE=3，∠SEC=60°，作SD⊥平面ABC，垂足為D，則D為CE的中點(diǎn)，利用勾股定理求出球的半徑，即可求出球的表面積．

解答 解：如圖所示，取AB的中點(diǎn)E，則SE⊥AB，CE⊥AB，SE=CE=3
∴∠SEC=60°，
作SD⊥平面ABC，垂足為D，則D為CE的中點(diǎn)，
設(shè)球心為O，OO′⊥平面ABC，O′為△ABC的外心，CO′=2，O′E=1，
設(shè)OO′=d，則R²=2²+d²=（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-d²）+（1.5-1）²，∴d=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，R²=$\frac{13}{3}$，
∴球的表面積為4πR²=$\frac{52π}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查球的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求出球的半徑是關(guān)鍵．