Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+

π

6

）（ω＞0，x∈R）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）若f（α）=

2

3

，α∈（0，

π

8

），求cos2α的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）直接利用正弦型函數(shù)的周期關(guān)系式求出結(jié)論．
（2）利用（1）所確定的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)一步對(duì)關(guān)系式中的角進(jìn)行恒等變換，利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式求出結(jié)果．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2sin（ωx+

π

6

）（ω＞0，x∈R）的最小正周期為π，
由

2π

ω

=π得ω=2；
（2）解法1：由f(α)=2sin(2α+

π

6

)=

2

3

得sin(2α+

π

6

)=

1

3

∵α∈(0，

π

8

)，∴2α+

π

6

∈(

π

6

，

5π

12

)，
∴cos(2α+

π

6

)=

1-sin2(2α+ π 6 )

=

2 2

3

∴cos2α=cos[(2α+

π

6

)-

π

6

]
=cos(2α+

π

6

)cos

π

6

+sin(2α+

π

6

)sin

π

6

=

2 2

3

•

3

2

+

1

3

•

1

2

=

2 6 +1

6

[解法2]：由f(α)=2sin(2α+

π

6

)=

2

3

得sin(2α+

π

6

)=

1

3

，
即sin2αcos

π

6

+cos2αsin

π

6

=

1

3

sin2α=

2 3 -cos2α

3

①
將①代入sin²2α+cos²2α=1并整理得4cos²2α-12cos2α-23=0，
解得：cos2α=

12±24 6

72

=

1±2 6

6

，②
∵α∈(0，

π

8

)∴0＜2α＜

π

4

，∴cos2α＞0，故②中負(fù)值不合舍去，
∴cos2α=

1+2 6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：利用正弦型函數(shù)周期的關(guān)系式確定函數(shù)的解析式，函數(shù)關(guān)系式中角的恒等變換的應(yīng)用．