Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-a|+b，a，b∈R若對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a（a≥2），存在實(shí)數(shù)b，?x₁，x₂∈[1，2]，都有不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 若對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a（a≥2），存在實(shí)數(shù)b，?x₁，x₂∈[1，2]，都有不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立，即x∈[1，2]時(shí)，函數(shù)最值的差不超過1，結(jié)合二次函數(shù)的圖象分類討論，可得答案．

解答 解：當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=x|x-a|+b=-x²+ax+b，
其圖象是開口朝下，且以直線x=$\frac{a}{2}$為對(duì)稱軸的拋物線，
若?x₁，x₂∈[1，2]，都有不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立，
即x∈[1，2]時(shí)，函數(shù)最值的差不超過1，
（1）當(dāng)$\frac{a}{2}$≥2，即a≥4時(shí)，
∴f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，
f（x）_max=f（2）=-4+2a+b，
f（x）_min=f（1）=-1+a+b，
由（-4+2a+b）-（-1+a+b）≤1得：a≤4；
∴a=4
（2）當(dāng)$\frac{3}{2}$≤$\frac{a}{2}$＜2，即3≤a＜4時(shí)，
∴f（x）在[1，$\frac{a}{2}$]上為增函數(shù)，在[$\frac{a}{2}$，2]上為減函數(shù)，
f（x）_max=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+b，
f（x）_min=f（1）=-1+a+b，
由（$\frac{{a}^{2}}{4}$+b）-（-1+a+b）≤1得：0≤a≤4；
∴3≤a＜4
（3）當(dāng)1＜$\frac{a}{2}$＜$\frac{3}{2}$，即2＜a＜3時(shí)，
∴f（x）在[1，$\frac{a}{2}$]上為增函數(shù)，在[$\frac{a}{2}$，2]上為減函數(shù)，
f（x）max=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+b，
f（x）_min=f（2）=-4+2a+b，
由（$\frac{{a}^{2}}{4}$+b）-（-4+2a+b）≤1得：2≤a≤6；
∴2＜a＜3，
均上可得：2＜a≤4．

點(diǎn)評(píng) 此題是個(gè)難題，考查函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，在轉(zhuǎn)化過程中又注重了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，題目的難度大，綜合性強(qiáng)．