Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（$\sqrt{{a}_{n}}，{S}_{n}$）在曲線y=2x²-2上
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+1-a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和求和的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；
（2）求出b_n，即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 （1）證明：由于點(diǎn)（$\sqrt{{a}_{n}}，{S}_{n}$，S_n）在曲線y=2x²-2上．
則S_n=2a_n-2，
n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，
當(dāng)n＞1時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2，
可得S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1=a_n，
即為a_n=2a_n-1，
可得數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；
（2）a_n=a₁q^n-1=2ⁿ．
b_n=a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ．
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和的關(guān)系，同時(shí)考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)及求和公式的運(yùn)用，等比數(shù)列求數(shù)列的和的方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．