Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）討論函數(shù)的零點的個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（2）見解析

【解析】

（1）先求得函數(shù)的定義域，然后利用導數(shù)求得函數(shù)的單調區(qū)間.

（2）先由得，判斷且后分離常數(shù)得到，構造函數(shù)（且），利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間，畫出的大致圖像，結合圖像討論得函數(shù)的零點的個數(shù).

（1）的定義域為

∵在上是增函數(shù)，且

∴是 ，時

∴ 在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)

（2）由得

不是該方程的解 ∴且

∴

令 （且）

則

令

則在上是增函數(shù)

又

∴時

時，

∴在，是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

又，時，

時，

時，

時 ，

∴的大致圖象如圖所示

∴時有一個零點，

時無零點，

時有一個零點，

時有兩個零點，

綜上：時有兩個零點，

或時有一個零點，

時無零點，