Question

13．已知條件p：實(shí)數(shù)x使得函數(shù)f（x）=$\frac{1}{\sqrt{x+1}}$+lg（5-x）有意義．條件q：m＜x＜2m+1（m∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)m=1，且“p∧q為假，￢p為假“時(shí)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（Ⅱ）若￢p是￢q的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別求出p，q為真時(shí)的x的范圍，再結(jié)合“p∧q為假，￢p為假”的條件，得到不等式組，解出x的范圍即可；
（Ⅱ）分別記A={x|-1＜x＜5}，B={x|m＜x＜2m+1}，根據(jù)條件得到B?A，通過(guò)討論B是否為∅，求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由p得：-1＜x＜5，
當(dāng)m=1時(shí)，q：1＜x＜3，
“p∧q為假，￢p為假”知：p真q假，
由$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜5}\\{x≤1或x≥3}\end{array}\right.$得：-1＜x≤1或3≤x＜5，
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是（-1，1]∪[3，5）；
（Ⅱ）∵￢p是￢q的充分條件，
∴p是q的必要條件，
記A={x|-1＜x＜5}，B={x|m＜x＜2m+1}，
則B?A，
①當(dāng)B=∅，即m≥2m+1，即m≤-1時(shí)：B?A成立，
∴m≤-1滿足題意；
②當(dāng)B≠∅，即m＜2m+1，即m＞-1時(shí)，
由B?A可得$\left\{\begin{array}{l}{m≥-1}\\{2m+1≤5}\end{array}\right.$，解得：-1≤m≤2，又m＞-1，
∴-1＜m≤2，
綜上：m≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了充分必要條件，考查復(fù)合命題的判斷，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．