求證:函數(shù)f(x)=x2+|x+a|+1是偶函數(shù)的充要條件是a=0.
考點(diǎn):函數(shù)奇偶性的判斷
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:分別從充分性和必要性兩個(gè)方面利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行證明.
解答: 證明:充分性:若a=0,則函數(shù)f(x)=x2+|x+a|+1是偶函數(shù).
因?yàn)閍=0,所以f(x)=x2+|x|+1(x∈R),
又因?yàn)閒(-x)=(-x)2+|-x|+1=x2+|x|+1,所以f(x)是偶函數(shù).
必要性:若f(x)=x2+|x+a|+1是偶函數(shù),則a=0.
因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),即
(-x)2+|-x+a|+1=x2+|x+a|+1,
所以x2+|x-a|+1=x2+|x+a|+1,
從而|x-a|=|x+a|,因此(x-a)2=(x+a)2,
展開整理,得ax=0.因?yàn)閤∈R,所以a=0.
點(diǎn)評(píng):本題考查了充要條件的命題證明以及函數(shù)奇偶性的證明;對(duì)于充要條件的證明要分別從充分性和必要性兩個(gè)方面分別證明.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖象如圖所示,其中ω>0,|φ|<
π
2
,則為了得到函數(shù)g(x)=sin2x的圖象,只須把函數(shù)f(x)的圖象( 。
A、向右平移
π
6
個(gè)單位
B、向右平移
π
12
個(gè)單位
C、向左平移
π
6
個(gè)單位
D、向左平移
π
12
個(gè)單位

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

計(jì)算或化簡下列各式:
(1)
3xy2
6x5
4y3
(x>0,y>0)(結(jié)果用指數(shù)表示)
(2)log84+log26-log25•log259+2-log23

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若函數(shù)f(x)=x2-mx+m+2是偶函數(shù),則m=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC.
(Ⅰ)求角A的大;
(Ⅱ)若cosB是方程3x2-10x+3=0的一個(gè)根,求sinC的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

不等式x2-ax+b<0的解集為(-2,1),則a+b=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)m、n是兩條不同的直線,α、β是兩個(gè)不同的平面.給出下列四個(gè)命題:
①若m∥α,n∥β,α∥β,則m∥n;
②若m⊥α,n⊥β,α⊥β,則m⊥n;
③若m∥α,m∥n,則n∥α;     
④若α∥β,m⊥α,n∥β,則m⊥n.
則正確的命題為
 
.(填寫命題的序號(hào))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)是R上的函數(shù),且滿足f(0)=1,并且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,設(shè)a1為首項(xiàng),其前n項(xiàng)和為Sn,若對(duì)任意的正整數(shù)m、n都有不等式S2m+S2n<2Sm+n(m≠n)恒成立,且2S6>S3
(Ⅰ)設(shè){an}為等差數(shù)列,且公差為d,求a1和d的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè){an}為等比數(shù)列,且公比為q(q>0且q≠1),求a1和q 的取值范圍.

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