Question

9．已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，a₁=1，a₂=2，a₃=3，數(shù)列{a_n+a_n+1+a_n+2}是公差為2的等差數(shù)列，則S₂₅=（　�。�

• A． 232
• B． 233
• C． 234
• D． 235

Answer 1

分析 由已知可得a_n+3-a_n=（a_n+1+a_n+2+a_n+3）-（a_n+a_n+1+a_n+2）=2，故a₁，a₄，a₇，…是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，a₂，a₅，a₈，…是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，a₃，a₆，a₉，…是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式，和分組求和法，可得答案．

解答 解：∵數(shù)列{a_n+a_n+1+a_n+2}是公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n+3-a_n=（a_n+1+a_n+2+a_n+3）-（a_n+a_n+1+a_n+2）=2，
∴a₁，a₄，a₇，…是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
a₂，a₅，a₈，…是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，
a₃，a₆，a₉，…是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，
∴S₂₅=（a₁+a₄+a₇+…+a₂₅）+（a₂+a₅+a₈+…+a₂₃）+（a₃+a₆+a₉+…+a₂₄）
=$9×1+\frac{9×8×2}{2}$+$8×2+\frac{8×7×2}{2}$+$8×3+\frac{8×7×2}{2}$=233，
故選：B

點評 本題考查的知識點是等差數(shù)列的前n項和公式，根據(jù)已知得到a_n+3-a_n=2，是解答的關(guān)鍵．