Question

3．直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)且與該拋物線(xiàn)的軸垂直，若直線(xiàn)l與該拋物線(xiàn)圍成的封閉圖形的面積為$\frac{3}{2}$，則p等于$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)且與該拋物線(xiàn)的軸垂直，則拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)為（$\frac{p}{2}$，±p）
y²=2px（p＞0）⇒x=$\frac{{y}^{2}}{2p}$，根據(jù)定積分的幾何意義得2${∫}_{0}^{p}（$$\frac{{y}^{2}}{2p}$）=p²-$\frac{3}{2}$，即可求p

解答 解：直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)且與該拋物線(xiàn)的軸垂直，
則拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)為（$\frac{p}{2}$，±p）
y²=2px（p＞0）⇒x=$\frac{{y}^{2}}{2p}$，根據(jù)定積分的幾何意義得2${∫}_{0}^{p}（$$\frac{{y}^{2}}{2p}$）dy=p²-$\frac{3}{2}$，
∵$（\frac{{y}^{3}}{6p}）′=\frac{{y}^{2}}{2p}$，∴2×$\frac{{p}^{2}}{6}$=${p}^{2}-\frac{3}{2}$，∴$p=\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了微積分的幾何性質(zhì)，及定積分定理的應(yīng)用，屬于中檔題，