Question

12．已知圓心為F₁的圓：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，點(diǎn)F₂$（\sqrt{3}，0）$，點(diǎn)P是圓F₁上任意一點(diǎn)袁線段PF₂的垂直平分線與線段F₁P相交于點(diǎn)Q．
（1）求動點(diǎn)Q的軌跡E的方程；
（2）若直線x=m（-1＜m≤0）與圓x²+y²=4及軌跡E分別相交于C、D（C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)都為正數(shù)），定點(diǎn)M（-8，0），直線MC與圓x²+y²=4相交于另一點(diǎn)A；直線MD與軌跡E相交于另一點(diǎn)B．求證：$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{{F_1}{F_2}}$為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意得|QF₁|=|QF₂|=|QF₁|+|OP|=|PF₁|=4＞|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，根據(jù)橢圓定義，Q的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，由此能求出動點(diǎn)Q的軌跡E的方程．
（2）聯(lián)立方程組求出C（m，$\sqrt{4-{m}^{2}}$），D（m，$\frac{\sqrt{4-{m}^{2}}}{2}$），設(shè)A（${x}_{1}，\sqrt{4-{{x}_{1}}^{2}}$），B（${x}_{2}，\frac{\sqrt{4-{{x}_{2}}^{2}}}{2}$），由M，A，C三點(diǎn)共線，M，B，D三點(diǎn)共線，得x₁=x₂，由此能證明$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$為定值．

解答 解：（1）由題意得|PF₁|=4，|QP|=|QF₂|，
∴|QF₁|=|QF₂|=|QF₁|+|OP|=|PF₁|=4＞|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，
∴根據(jù)橢圓定義，Q的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，
∴2a=2，2c=2$\sqrt{3}$，∴b²=a²-c²=1，
∴動點(diǎn)Q的軌跡E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
證明：（2）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=m}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得C（m，$\sqrt{4-{m}^{2}}$），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得D（m，$\frac{\sqrt{4-{m}^{2}}}{2}$），
∵C，D兩點(diǎn)在x軸上方，∴設(shè)A（${x}_{1}，\sqrt{4-{{x}_{1}}^{2}}$），B（${x}_{2}，\frac{\sqrt{4-{{x}_{2}}^{2}}}{2}$），
∴$\overrightarrow{MA}$=（x₁+8，$\sqrt{4-{{x}_{1}}^{2}}$），$\overrightarrow{MC}$=（m+8，$\sqrt{4-{m}^{2}}$），
$\overrightarrow{MB}$=（x₂+8，$\frac{\sqrt{4-{{x}_{2}}^{2}}}{2}$），$\overrightarrow{MD}$=（m+8，$\frac{\sqrt{4-{m}^{2}}}{2}$），
由M，A，C三點(diǎn)共線，M，B，D三點(diǎn)共線，得：
$（{x}_{1}+8）\sqrt{4-{m}^{2}}$=（m+8）$\sqrt{4-{{x}_{1}}^{2}}$，${（x}_{2}+8）•\frac{\sqrt{4-{m}^{2}}}{2}$=（m+8）$\frac{\sqrt{4-{{x}_{2}}^{2}}}{2}$，
∴x₁=x₂，
∴$\overrightarrow{AB}$=（0，-$\frac{\sqrt{4-{{x}_{1}}^{2}}}{2}$），$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$=（2$\sqrt{3}$，0），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$=0，∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$為定值0．

點(diǎn)評 本題考查動點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查向量積為定值的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意、直線方程、圓等知識點(diǎn)的合理運(yùn)用．