（2011•深圳模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(
6
5
，0)），P（cosα，sinα），其中0＜α＜
π
2
．
（1）若 cosα=
5
6
，求證：
PA
⊥
PO
；
（2）若|
PA
|=|
PO
|，求sin(2α+
π
4
)的值．
分析：（1）用坐標(biāo)分別表示出
PA
=(
6
5
-cosa，-sina)，
PO
=（-cosa，-sina），求出它們的數(shù)量積，利用cosα=
5
6
可證．
（2）由|
PA
|=|
PO
|，可求解得cosa，進(jìn)而可求 sin2a，從而問題可解．
解答：解：（1）由題設(shè)知
PA
=(
6
5
-cosa，-sina)，
PO
=（-cosa，-sina）．
所以
PA
•
PO
=(
6
5
-cosa)(-cosa)+(-sina)2=-
6
5
cosa+cos2a+sin2a=-
6
5
cosa+1．
因?yàn)閏osa=
5
6
，所以
PA
•
PO
=0．故
PA
⊥
PO
．
（2）因?yàn)?span id="qgyqjlu" class="MathJye">|
PA
|=|
PO
||，所以|
PA
|2=|
PO
|2，
即(cosa-
6
5
)2+sin2a=cos2a+sin2a．
解得cosa=
3
5
．
因?yàn)?＜a＜
π
2
，所以sina=
4
5
．
因此sin2a=2sinacosa=
24
25
，cos2a=2cos2a-1=-
7
25
．
從而sin(2a+
π
4
)=
2
2
sin2a+
2
2
cos2a=
2
2
×
24
25
+
2
2
×(-
7
25
)=
17
2
50
．
點(diǎn)評(píng)：本題以向量為載體，考查三角函數(shù)，考查數(shù)量積運(yùn)算，考查和角的三角函數(shù)，有一定的綜合性．
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43
43
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2
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π
4
π
4
．

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