Question

正項(xiàng)無窮等比數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和為S_n，若

lim

n→∞

Sn

Sn+1

=1，則其公比q的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件分2種情況討論，①，q=1時(shí)，

lim

n→∞

Sn

Sn+1

=

lim

n→∞

n

n+1

=1，成立；②，q≠1時(shí)，

lim

n→∞

a1(1-qn) 1-q

a1(1-qn+1) 1-q

=

lim

n→∞

1-qn

1-qn+1

=1，解可得q的范圍，綜合可得答案．

解答：解：∵正項(xiàng)無窮等比數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和為S_n，且

lim

n→∞

Sn

Sn+1

=1，
分情況討論：
①，q=1時(shí)，

lim

n→∞

Sn

Sn+1

=

lim

n→∞

n

n+1

=1，
②，q≠1時(shí)，

lim

n→∞

a1(1-qn) 1-q

a1(1-qn+1) 1-q

=

lim

n→∞

1-qn

1-qn+1

=1，
∴0＜q＜1．
綜合可得0＜q≤1，
故答案為：（0，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的極限及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．