【題目】已知函數(shù).

(1)試討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

(2)若對(duì)任意的,關(guān)于的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

(1)先對(duì)原函數(shù)求導(dǎo),得到,再分類討論即可得到單調(diào)性與極值,從而判斷出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

(2)設(shè)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.

(1)解法一:由題得

當(dāng)時(shí), 是減函數(shù)

,

∴此時(shí)有且只有一個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)時(shí),,此時(shí)沒有零點(diǎn)

當(dāng)時(shí)

+

0

-

極大值

(。┤此時(shí),函數(shù)沒有零點(diǎn)

(ⅱ)若

此時(shí),函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)

(ⅲ)若

,下面證明存在使

①取

下面證明,

證明:設(shè),

上恒負(fù)

上是減函數(shù)

∴在上,恒有

上是減函數(shù)

,得證

或②取

下面證明,

證明:設(shè)

上是減函數(shù)

,得證

∴此時(shí),函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)

綜上,函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

解法二 由題得

當(dāng)時(shí),,此時(shí)沒有零點(diǎn)

當(dāng)時(shí)

導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

設(shè)

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),

上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減

又∵當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),(即

∴圖象如圖

∴當(dāng)時(shí),有1個(gè)交點(diǎn);當(dāng)即/span>時(shí),有2個(gè)交點(diǎn);當(dāng)

時(shí),有1個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí),沒有交點(diǎn).

綜上,函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

(2)設(shè)

題設(shè)成立的一個(gè)必要條件是

當(dāng)時(shí)

,

上單調(diào)遞減

又∵處連續(xù)(連續(xù)性在解題過程中可不作要求,下面第三行同)

,

從而上單調(diào)遞減

,

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2)(本小題滿分7分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直接坐標(biāo)系中,直線l的方程為x-y+4=0,曲線C的參數(shù)方程為.

I)已知在極坐標(biāo)(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4),判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系;

II)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線l的距離的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】4件產(chǎn)品中,有一等品2件,二等品1件(一等品與二等品都是正品),次品1件,現(xiàn)從中任取2件,則下列說法正確的是(

A.兩件都是一等品的概率是

B.兩件中有1件是次品的概率是

C.兩件都是正品的概率是

D.兩件中至少有1件是一等品的概率是

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為抑制房?jī)r(jià)過快上漲和過度炒作,各地政府響應(yīng)中央號(hào)召,因地制宜出臺(tái)了系列房?jī)r(jià)調(diào)控政策.某市為擬定出臺(tái)房產(chǎn)限購(gòu)的年齡政策”.為了解人們對(duì)房產(chǎn)限購(gòu)年齡政策的態(tài)度,對(duì)年齡在歲的人群中隨機(jī)調(diào)查100人,調(diào)查數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖和支持房產(chǎn)限購(gòu)的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:

年齡

支持的人數(shù)

15

5

15

28

17

1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為以44歲為分界點(diǎn)的不同人群對(duì)房產(chǎn)限購(gòu)年齡政策的支持度有差異;

44歲以下

44歲以上

總計(jì)

支持

不支持

總計(jì)

2)若以44歲為分界點(diǎn),從不支持房產(chǎn)限購(gòu)的人中按分層抽樣的方法抽取8人參加政策聽證會(huì).現(xiàn)從這8人中隨機(jī)抽2人.

①抽到1人是44歲以下時(shí),求抽到的另一人是44歲以上的概率.

②記抽到44歲以上的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù):

,其中

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,且與直角坐標(biāo)系長(zhǎng)度單位相同的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程是.

(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)點(diǎn).若直與曲線相交于兩點(diǎn),求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率等于 .現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計(jì)算器產(chǎn)生09之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0,表示不命中;再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù):

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

據(jù)此估計(jì),該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為__________

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某學(xué)校為了了解學(xué)生使用手機(jī)的情況,分別在高一和高二兩個(gè)年級(jí)各隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均使用手機(jī)時(shí)間的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖,將使用手機(jī)時(shí)間不低于80分鐘的學(xué)生稱為“手機(jī)迷”.

I)將頻率視為概率,估計(jì)哪個(gè)年級(jí)的學(xué)生是“手機(jī)迷”的概率大?請(qǐng)說明理由.

II)在高二的抽查中,已知隨機(jī)抽到的女生共有55名,其中10名為“手機(jī)迷”.根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表,并據(jù)此資料你有多大的把握認(rèn)為“手機(jī)迷”與性別有關(guān)?

非手機(jī)迷

手機(jī)迷

合計(jì)

合計(jì)

附:隨機(jī)變量(其中為樣本總量).

參考數(shù)據(jù)

0.15

0.10

0.05

0.025

2.072

2.706

3.841

5.024

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某公司培訓(xùn)員工某項(xiàng)技能,培訓(xùn)有如下兩種方式,方式一:周一到周五每天培訓(xùn)1小時(shí),周日測(cè)試;方式二:周六一天培訓(xùn)4小時(shí),周日測(cè)試.公司有多個(gè)班組,每個(gè)班組60人,現(xiàn)任選兩組(記為甲組、乙組)先培訓(xùn),甲組選方式一,乙組選方式二,并記錄每周培訓(xùn)后測(cè)試達(dá)標(biāo)的人數(shù)如下表,其中第一、二周達(dá)標(biāo)的員工評(píng)為優(yōu)秀.

第一周

第二周

第三周

第四周

甲組

20

25

10

5

乙組

8

16

20

16

(1)在甲組內(nèi)任選兩人,求恰有一人優(yōu)秀的概率;

(2)每個(gè)員工技能測(cè)試是否達(dá)標(biāo)相互獨(dú)立,以頻率作為概率.

(i)設(shè)公司員工在方式一、二下的受訓(xùn)時(shí)間分別為,求的分布列,若選平均受訓(xùn)時(shí)間少的,則公司應(yīng)選哪種培訓(xùn)方式?

(ii)按(i)中所選方式從公司任選兩人,求恰有一人優(yōu)秀的概率.

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同步練習(xí)冊(cè)答案