Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=

1 |x-2|   (x≠2) 1   (x=2)

若關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有3個(gè)不同的實(shí)根x₁，x₂，x₃滿足x₁＜x₂＜x₃，下列說(shuō)法正確的是

 

（填序號(hào)）
①x₁²+x₂²+x₃²=14；
②二次函數(shù)g（t）=t²+at+b的圖象一定過(guò)某個(gè)定點(diǎn)；
③a²-4b=0；
④x₁，x₂，x₃一定成等差數(shù)列；
⑤x₁，x₂，x₃可能成等比數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：綜合題,數(shù)形結(jié)合法

分析：關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有3個(gè)解，則必然含有x=1這樣一個(gè)解，另外2個(gè)則在分段函數(shù)的另一段里面，剛好它是個(gè)絕對(duì)值函數(shù)，可以提供2個(gè)不同自變量時(shí)為同一值．既然含有x=1的解，此時(shí)f（1）=1，我們知道另外2個(gè)值也是1的肯定也能滿足方程，所以關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解時(shí)，f（x）=1，從而可得結(jié)論．

解答： 解：分段函數(shù)的圖象如圖所示
由圖可知，只有當(dāng)f（x）=1時(shí)，它有三個(gè)根．
∵

1

|x-2|

=1時(shí)，x=1或3
∴關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有且只有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解時(shí)，
解分別是1，2，3，且x₁=1，x₂=2，x₃=3，
∴x₁²+x₂²+x₃²=1+4+9=14，x₁+x₃=4=2x₂，
∵f（x）=1，∴1+a+b=0，
∴二次函數(shù)g（t）=t²+at+b的圖象一定過(guò)某個(gè)定點(diǎn)（1，0）．
∵a²-4b=a²+4a+4=（a+2）²≥0
∴正確的命題是①②③④
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系、函數(shù)的圖象等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．