Question

已知函數f（x）滿足f（

1-x

1+x

）=

1-x2

1+x2

（1）求f（x）的解析式及定義域；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）用換元法，設

1-x

1+x

=t，求出x，得出f（t），即為f（x）的解析式；
（2）分x＞0，x=0，x＜0時，求出

2x

1+x2

的取值范圍，即是函數f（x）的值域．

解答： 解：（1）根據題意，設

1-x

1+x

=t，
則x=

1-t

1+t

（t≠-1）；
∴f（t）=

1-( 1-t 1+t )2

1+( 1-t 1+t )2

=

2t

1+t2

（t≠-1）；
即f（x）=

2x

1+x2

，定義域是{x|x≠-1}；
（2）當x＞0時，0＜2x≤1+x²，∴0＜

2x

1+x2

≤1；
當x=0時，

2x

1+x2

=0；
當x＜0時，0＜-2x≤1+x²，∴0＜

-2x

1+x2

≤1，
∴-1≤

2x

1+x2

≤0；
又∵x≠-1，∴

2x

1+x2

≠-1；
綜上，-1＜

2x

1+x2

≤1；
即f（x）∈（-1，1]．

點評：本題考查了函數的定義域和值域的問題，解題時應用換元法求出函數的解析式，根據解析式求出定義域和值域，是基礎題．