Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≥3
（Ⅱ）如果?x∈R，都有f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）通過(guò)對(duì)x取值范圍的分類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值不等式中的絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為一次不等式，分別解之，最后取并集即可；
（Ⅱ）利用絕對(duì)值不等式的幾何意義易求f（x）_min=2，從而可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=|x-1|+|x+1|=

-2x，x＜-1 2，-1≤x≤1 2x，x＞1

，
∴f（x）≥3?

-2x≥3，x＜-1 2≥3，-1≤x≤1 2x≥3，x＞1

，
解得：x≤-

3

2

或x≥

3

2

，
∴不等式f（x）≥3的解集為{x|x≤-

3

2

或x≥

3

2

}；
（Ⅱ）?x∈R，都有f（x）≥a恒成立?a≤f（x）_min，
∵f（x）=|x-1|+|x+1|≥|（x-1）-（x+1）|=2，
∴f（x）_min=2，
∴a≤2，即a的取值范圍為（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，突出考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與方程思想、分類(lèi)討論思想的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．