Question

如圖，AA₁、BB₁為圓柱OO₁的母線（母線與底面垂直），BC是底面圓O的直徑，D、E分別是AA₁、CB₁的中點，DE⊥平面CBB₁．
（1）證明：AC⊥平面AA₁B₁B；
（2）證明：DE∥平面ABC；
（3）求四棱錐C-ABB₁A₁與圓柱OO₁的體積比．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出CA⊥AB，AA₁⊥平面ABC，由此能證明CA⊥平面AA₁B₁B．
（2）連接EO、OA，得到EO∥BB₁，且EO=

1

2

BB1 ，由此能求出四邊形AOED是平行四邊形，由此能證明DE∥平面ABC．
（3）連接CA．由題知DE⊥平面CBB₁，由DE∥OA，知CA為四棱錐C-ABB₁A₁的高，由此能求出四棱錐C-ABB₁A₁與圓柱OO₁的體積比．

解答： （1）證明：∵BC是底面圓O的直徑，∴CA⊥AB．
又AA₁是圓柱的母線，∴AA₁⊥平面ABC，
∴AA₁⊥CA，又AA₁∩AB=A，
∴CA⊥平面AA₁B₁B．…（4分）
（2）如圖，連接EO、OA，∵E，O分別為CB₁、BC的中點，
∴EO是△BB₁C的中位線，∴EO∥BB₁，且EO=

1

2

BB1 ．
又DA∥BB₁，AA₁=BB₁，
故DA=

1

2

BB1=EO，∴DA∥EO，且DA=EO，
∴四邊形AOED是平行四邊形，即DE∥OA，
又DE不包含平面ABC，OA?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．…（8分）
（3）如圖，連接CA．由題知DE⊥平面CBB₁，
且由（2）知DE∥OA，
∴AO⊥平面CBB₁，∴AO⊥BC，
∴AC=AB=

2

OA．
由（1）知CA為四棱錐C-ABB₁A₁的高．
設(shè)圓柱高為h，底面半徑為r，
則V圓柱=πr2h，VC-ABB1A1=

1

3

h(

2

r)•(

2

r)=

2

3

hr2，
∴VC-ABB1A1：V圓柱=

2 3 hr2

πr2h

=

2

3π

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查棱錐與圓柱體積的比的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．