【題目】設(shè)是各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和,給出如下兩個命題上:命題p是等差數(shù)列;命題q:等式對任意恒成立,其中k,b是常數(shù).

1)若pq的充分條件,求kb的值;

2)對于(1)中的kb,問p是否為q的必要條件,請說明理由;

3)若p為真命題,對于給定的正整數(shù)n和正數(shù)M,數(shù)列滿足條件,試求 的最大值.

【答案】1,,(2)必要條件,理由見解析,(3

【解析】

1)當(dāng)是等差數(shù)列時,利用裂項(xiàng)求和的方法求得等式左邊表達(dá)式的和,化簡得對于恒成立,由此求得.

2)當(dāng)時,等式為.利用退作差法,證得數(shù)列為等差數(shù)列,由此證得的必要條件.

3)利用三角換元的方法,將表示三角函數(shù)的形式,結(jié)合柯西不等式和不等式的性質(zhì),求得的最大值.

1)設(shè)的公差為d,則原等式可化為

,

所以

對于恒成立,

所以,.

2)當(dāng),時,假設(shè)pq的必要條件,即

“若①對于任意的恒成立,則為等差數(shù)列”.

當(dāng)時,顯然成立.

當(dāng)時,若②,

由①﹣②得,

③.

當(dāng)時,,即、、成等差數(shù)列,

當(dāng)時,④,

.所以為等差數(shù)列,即pq的必要條件.

3)由,可設(shè),所以.

設(shè)的公差為d,則,

所以

所以,

,

所以的最大值為.

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3)設(shè),,且數(shù)列的前項(xiàng)和為.求證:數(shù)列﹣擺動數(shù)列,并求出常數(shù)的取值范圍.

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(1)求的值;

2)分析人員對100名調(diào)查對象的性別進(jìn)行統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),消費(fèi)金額不低于300元的男性有20人,低于300元的男性有25人,根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為消費(fèi)金額與性別有關(guān)?

(3)分析人員對抽取對象每周的消費(fèi)金額與年齡進(jìn)一步分析,發(fā)現(xiàn)他們線性相關(guān),得到回歸方程.已知100名使用者的平均年齡為38歲,試判斷一名年齡為25歲的年輕人每周的平均消費(fèi)金額為多少.(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替)

列聯(lián)表

男性

女性

合計

消費(fèi)金額

消費(fèi)金額

合計

臨界值表:

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

,其中

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A.B.C.D.

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