Question

已知函數(shù)f（x）=2sin

x

4

cos

x

4

-2

3

sin2

x

4

+

3

，且g(x)=f(x+

π

3

)．
（1）判斷g（x）的奇偶性
（2）求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）運用二倍角的正弦和余弦公式，兩角和的正弦公式，化簡f（x），再由余弦函數(shù)的奇偶性即可判斷g（x）的奇偶性；
（2）運用余弦函數(shù)的增區(qū)間，解不等式，即可得到所求的增區(qū)間．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2sin

x

4

cos

x

4

-2

3

sin2

x

4

+

3

=sin

x

2

+

3

（1-2sin²

x

4

）=sin

x

2

+

3

cos

x

2

=2（

1

2

sin

x

2

+

3

2

cos

x

2

）=2sin（

x

2

+

π

3

）
則g（x）=f（x+

π

3

）=2sin（

x

2

+

π

2

）=2cos

x

2

，
g（-x）=2cos（-

x

2

）=2cos

x

2

=g（x），
則g（x）為偶函數(shù)；
（2）g（x）=2cos

x

2

，
由2kπ-π≤

x

2

≤2kπ，解得，4kπ-2π≤x≤4kπ，k∈Z，
則g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ-2π，4kπ]，k∈Z．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查三角函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，考查運算能力，屬于中檔題．