Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-a，}&{x＜1}\\{4（x-a）（x-2a），}&{x≥1}\end{array}\right.$，
①若a=1，則f（x）的最小值為-1；
②若f（x）恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是$\frac{1}{2}$≤a＜1或a≥2．

Answer 1

分析 ①分別求出分段的函數(shù)的最小值，即可得到函數(shù)的最小值；
②分別設(shè)h（x）=2^x-a，g（x）=4（x-a）（x-2a），分兩種情況討論，即可求出a的范圍．

解答 解：①當(dāng)a=1時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，x＜1}\\{4（x-1）（x-2），x≥1}\end{array}\right.$，
當(dāng)x＜1時，f（x）=2^x-1為增函數(shù)，f（x）＞-1，
當(dāng)x＞1時，f（x）=4（x-1）（x-2）=4（x²-3x+2）=4（x-$\frac{3}{2}$）²-1，
當(dāng)1＜x＜$\frac{3}{2}$時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x＞$\frac{3}{2}$時，函數(shù)單調(diào)遞增，
故當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時，f（x）_min=f（$\frac{3}{2}$）=-1，
②設(shè)h（x）=2^x-a，g（x）=4（x-a）（x-2a）
若在x＜1時，h（x）=與x軸有一個交點，
所以a＞0，并且當(dāng)x=1時，h（1）=2-a＞0，所以0＜a＜2，
而函數(shù)g（x）=4（x-a）（x-2a）有一個交點，所以2a≥1，且a＜1，
所以$\frac{1}{2}$≤a＜1，
若函數(shù)h（x）=2^x-a在x＜1時，與x軸沒有交點，
則函數(shù)g（x）=4（x-a）（x-2a）有兩個交點，
當(dāng)a≤0時，h（x）與x軸無交點，g（x）無交點，所以不滿足題意（舍去），
當(dāng)h（1）=2-a≤0時，即a≥2時，g（x）的兩個交點滿足x₁=a，x₂=2a，都是滿足題意的，
綜上所述a的取值范圍是$\frac{1}{2}$≤a＜1，或a≥2．

點評 本題考查了分段函數(shù)的問題，以及函數(shù)的零點問題，培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運算能力以及分類能力，屬于中檔題．