Question

20．已知函數(shù)f（x）=x³+ax+$\frac{1}{4}$，g（x）=-lnx
（i）當(dāng) a為何值時，x軸為曲線y=f（x）的切線；
（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），討論h（x）零點的個數(shù)．

Answer 1

分析 （i）f′（x）=3x²+a．設(shè)曲線y=f（x）與x軸相切于點P（x₀，0），則f（x₀）=0，f′（x₀）=0解出即可．
（ii）對x分類討論：當(dāng)x∈（1，+∞）時，g（x）=-lnx＜0，可得函數(shù)h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，即可得出零點的個數(shù)．
當(dāng)x=1時，對a分類討論：a≥-$\frac{5}{4}$，a＜-$\frac{5}{4}$，即可得出零點的個數(shù)；
當(dāng)x∈（0，1）時，g（x）=-lnx＞0，因此只考慮f（x）在（0，1）內(nèi)的零點個數(shù)即可．對a分類討論：①當(dāng)a≤-3或a≥0時，②當(dāng)-3＜a＜0時，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值即可得出．

解答 解：（i）f′（x）=3x²+a．
設(shè)曲線y=f（x）與x軸相切于點P（x₀，0），則f（x₀）=0，f′（x₀）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}^{3}+a{x}_{0}+\frac{1}{4}=0}\\{3{x}_{0}^{2}+a=0}\end{array}\right.$，解得${x}_{0}=\frac{1}{2}$，a=$-\frac{3}{4}$．
因此當(dāng)a=-$\frac{3}{4}$時，x軸為曲線y=f（x）的切線；
（ii）當(dāng)x∈（1，+∞）時，g（x）=-lnx＜0，
∴函數(shù)h（x）=min { f（x），g（x）}＜0，
故h（x）在x∈（1，+∞）時無零點．
當(dāng)x=1時，若a≥-$\frac{5}{4}$，則f（1）=a+$\frac{5}{4}$≥0，
∴h（x）=min { f（1），g（1）}=g（1）=0，故x=1是函數(shù)h（x）的一個零點；
若a＜-$\frac{5}{4}$，則f（1）=a+$\frac{5}{4}$＜0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=f（1）＜0，故x=1不是函數(shù)h（x）的零點；
當(dāng)x∈（0，1）時，g（x）=-lnx＞0，因此只考慮f（x）在（0，1）內(nèi)的零點個數(shù)即可．
①當(dāng)a≤-3或a≥0時，f′（x）=3x²+a在（0，1）內(nèi)無零點，因此f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)，
而f（0）=$\frac{1}{4}$，f（1）=a+$\frac{5}{4}$，∴當(dāng)a≤-3時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有一個零點，
當(dāng)a≥0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)沒有零點．
②當(dāng)-3＜a＜0時，函數(shù)f（x）在$（0，\sqrt{\frac{-a}{3}}）$內(nèi)單調(diào)遞減，在$（\sqrt{\frac{-a}{3}}，1）$內(nèi)單調(diào)遞增，故當(dāng)x=$\sqrt{\frac{-a}{3}}$時，f（x）取得最小值$f（\sqrt{\frac{-a}{3}}）$=$\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{-a}{3}}+\frac{1}{4}$．
若$f（\sqrt{\frac{-a}{3}}）$＞0，即$-\frac{3}{4}＜a＜0$，則f（x）在（0，1）內(nèi)無零點．
若$f（\sqrt{\frac{-a}{3}}）$=0，即a=-$\frac{3}{4}$，則f（x）在（0，1）內(nèi)有唯一零點．
若$f（\sqrt{\frac{-a}{3}}）$＜0，即$-3＜a＜-\frac{3}{4}$，由f（0）=$\frac{1}{4}$，f（1）=a+$\frac{5}{4}$，
∴當(dāng)$-\frac{5}{4}＜a＜-\frac{3}{4}$時，f（x）在（0，1）內(nèi)有兩個零點．當(dāng)-3＜a$≤-\frac{5}{4}$時，f（x）在（0，1）內(nèi)有一個零點．
綜上可得：a＜$-\frac{5}{4}$時，函數(shù)h（x）有一個零點．
當(dāng)$a＞-\frac{3}{4}$時，h（x）有一個零點；
當(dāng)a=$-\frac{3}{4}$或$-\frac{5}{4}$時，h（x）有兩個零點；
當(dāng)$-\frac{5}{4}＜a＜-\frac{3}{4}$時，函數(shù)h（x）有三個零點．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算法則、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了分類討論思想方法、推理能力與計算能力，屬于難題．