Question

2．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），過(guò)右焦點(diǎn)F₂，且斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，△MNF₁的周長(zhǎng)是8．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓右頂點(diǎn)為A，直線MA，NA分別交直線l'：x=5于點(diǎn)P，Q，線段PQ的中點(diǎn)為R，記直線F₁R的斜率為k'，求證kk'為定值，并求這個(gè)定值．

Answer 1

分析 對(duì)于第（1）問(wèn)，先由焦點(diǎn)坐標(biāo)，得c的值，再由周長(zhǎng)得a²的值，根據(jù)b²=a²-c²，得b²，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
對(duì)于第（2）問(wèn)，先設(shè)出交點(diǎn)P，Q及中點(diǎn)為R的坐標(biāo)，于是寫出直線MA，NA的方程，聯(lián)立x=5，即可表示P，Q的坐標(biāo)，從而得R的坐標(biāo)，接著由兩點(diǎn)的斜率公式，寫出斜率k'的表達(dá)式，再聯(lián)立直線l與橢圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由韋達(dá)定理，得x₁+x₂，x₁x₂，可進(jìn)一步用k表示k'，最后可計(jì)算kk'的值．

解答 解：（1）設(shè)焦距為2c，則依題意有c=1．
由△MNF₁的周長(zhǎng)是8，（|MF₁|+|MF₂|）+（|NF₁|+|NF₂|）=4a=8，
即得a²=4，從而b²=a²-c²=3，
所以橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），
則直線MA，NA的方程分別為：（x₁-2）y=y₁（x-2），（x₂-2）y=y₂（x-2），
聯(lián)立x=5，得交點(diǎn)P$（5，\frac{3{y}_{1}}{{x}_{1}-2}）$，Q$（5，\frac{3{y}_{2}}{{x}_{2}-2}）$，
由中點(diǎn)公式，得點(diǎn)R的坐標(biāo)為$（5，\frac{1}{2}（\frac{{3{y_1}}}{{{x_1}-2}}+\frac{{3{y_2}}}{{{x_2}-2}}））$，
所以$k'=\frac{{\frac{1}{2}（\frac{{3{y_1}}}{{{x_1}-2}}+\frac{{3{y_2}}}{{{x_2}-2}}）}}{5-（-1）}=\frac{1}{4}（\frac{y_1}{{{x_1}-2}}+\frac{y_2}{{{x_2}-2}}）$．
又設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程中，
得3x²+4k²（x-1）²=12，即（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
由韋達(dá)定理，得${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，
所以$kk'=\frac{k^2}{4}•\frac{{（{x_1}-1）（{x_2}-2）+（{x_2}-1）（{x_1}-2）}}{{（{x_1}-2）（{x_2}-2）}}$
=$\frac{k^2}{4}•\frac{{2{x_1}{x_2}-3（{x_1}+{x_2}）+4}}{{{x_1}{x_2}-2（{x_1}+{x_2}）+4}}$=$\frac{k^2}{4}•\frac{{8{k^2}-24-24{k^2}+16{k^2}+12}}{{4{k^2}-12-16{k^2}+16{k^2}+12}}=-\frac{3}{4}$，
即kk'為定值$-\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬定值的證明問(wèn)題，主要考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓相交的位置關(guān)系等，求解時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
①橢圓方程的確定，除了隱含條件a²=b²+c²以外，還要尋找關(guān)于a，b，c的兩個(gè)獨(dú)立的方程；
②對(duì)于定值的證明問(wèn)題，關(guān)鍵是先引入?yún)��?shù)（如點(diǎn)的坐標(biāo)，直線的斜率，縱截距等），再用參數(shù)表示所證式，最后通過(guò)消參的方式獲取定值，其間，韋達(dá)定理往往起到重要的作用．