【題目】設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列.
(1)試推導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式;
(2)設(shè)q≠1,證明數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列.

【答案】
(1)解:當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1;

當(dāng)q≠0,1時(shí),由Sn=a1+a2+…+an,

得qSn=a1q+a2q+…+an1q+anq.

兩式錯(cuò)位相減得(1﹣q)Sn=a1+(a2﹣a1q)+…+(an﹣an1q)﹣anq,(*)

由等比數(shù)列的定義可得 ,

∴a2﹣a1q=a3﹣a2q=…=0.

∴(*)化為(1﹣q)Sn=a1﹣anq,

;


(2)證明:

用反證法:設(shè){an}是公比為q≠1的等比數(shù)列,數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列.

①當(dāng)存在n∈N*,使得an+1=0成立時(shí),數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列.

②當(dāng)n∈N*(n≥2),使得an+1≠0成立時(shí),則 = =

化為(qn1﹣1)(q﹣1)=0,

∵q≠1,∴q﹣1≠0,qn1﹣1≠0,故矛盾.

綜上兩種情況:假設(shè)不成立,故原結(jié)論成立.


【解析】(1)分q=1與q≠1兩種情況討論,當(dāng)q≠1,0時(shí),利用錯(cuò)位相減法即可得出;(2)分①當(dāng)存在n∈N* , 使得an+1=0成立時(shí),顯然不成立;②當(dāng)n∈N*(n≥2),使得an+1≠0成立時(shí),使用反證法即可證明.
【考點(diǎn)精析】掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和等比關(guān)系的確定是解答本題的根本,需要知道前項(xiàng)和公式:;等比數(shù)列可以通過(guò)定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(參考數(shù)據(jù):

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非一線

一線

總計(jì)

愿生

不愿生

總計(jì)

附表:

算得,參照附表,得到的正確結(jié)論是( )

A. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下,認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”

B. 以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”

C. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下,認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別無(wú)關(guān)”

D. 以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別無(wú)關(guān)”

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