【題目】已知函數(shù)f(x)=ex , x∈R.
(1)若直線y=kx+1與f (x)的反函數(shù)g(x)=lnx的圖象相切,求實(shí)數(shù)k的值;
(2)設(shè)x>0,討論曲線y=f (x) 與曲線y=mx2(m>0)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).
(3)設(shè)a<b,比較 與 的大小,并說(shuō)明理由.
【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)=ex的反函數(shù)為g(x)=lnx,∴ .
設(shè)直線y=kx+1與g(x)的圖象相切于點(diǎn)P(x0,y0),則 ,解得 ,k=e﹣2,
∴k=e﹣2.
(2)解:當(dāng)x>0,m>0時(shí),令f(x)=mx2,化為m= ,
令h(x)= ,則 ,
則x∈(0,2)時(shí),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;x∈(2,+∞)時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.
∴當(dāng)x=2時(shí),h(x)取得極小值即最小值, .
∴當(dāng) 時(shí),曲線y=f (x) 與曲線y=mx2(m>0)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0;
當(dāng) 時(shí),曲線y=f (x) 與曲線y=mx2(m>0)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1;
當(dāng) 時(shí),曲線y=f (x) 與曲線y=mx2(m>0)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.
(3)解: =
=
= ,
令g(x)=x+2+(x﹣2)ex(x>0),則g′(x)=1+(x﹣1)ex.
g′′(x)=xex>0,∴g′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且g′(0)=0,
∴g′(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
而g(0)=0,∴在(0,+∞)上,有g(shù)(x)>g(0)=0.
∵當(dāng)x>0時(shí),g(x)=x+2+(x﹣2)ex>0,且a<b,
∴ ,
即當(dāng)a<b時(shí), .
【解析】(1)先求出其反函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)得出切線的斜率即可;(2)由f(x)=mx2 , 令h(x)= ,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h(x)的單調(diào)性即可得出;(3)利用作差法得 = = = ,令g(x)=x+2+(x﹣2)ex(x>0),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“圓材埋壁”是《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題:“今有圓材,埋在壁中,不知大小,以鋸鋸之,學(xué)會(huì)一寸,鋸道長(zhǎng)一尺,問(wèn)徑幾何?”其意為:今有一圓柱形木材,埋在墻壁中,不知道大小,用鋸取鋸它,鋸口深一寸,鋸道長(zhǎng)一尺,問(wèn)這塊圓柱形木材的直徑是多少?現(xiàn)有圓柱形木材一部分埋在墻壁中,截面如圖所示,已知弦尺,弓形高寸,則陰影部分面積約為(注:,,1尺=10寸)( )
A. 6.33平方寸B. 6.35平方寸
C. 6.37平方寸D. 6.39平方寸
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某校有一塊形如直角三角形ABC的空地,其中∠B為直角,AB長(zhǎng)40米,BC長(zhǎng)50米,現(xiàn)欲在此空地上建造一間健身房,其占地形狀為矩形,且B為矩形的一個(gè)頂點(diǎn),求該健身房的最大占地面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題中錯(cuò)誤的是( )
A. 若兩個(gè)平面平行,則分別位于這兩個(gè)平面的直線也互相平行
B. 平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行;
C. 平面內(nèi)一個(gè)三角形各邊所在的直線都與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行
D. 若兩個(gè)平面平行,則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列.
(1)試推導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式;
(2)設(shè)q≠1,證明數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中.
(1)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由;
(2)若,成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且S4=4S2 , a2n=2an+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn且 (λ為常數(shù)).令cn=b2n(n∈N*)求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Rn .
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【題目】已知函數(shù),函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn),從小到大依次為,,,,則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
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