Question

已知橢圓K 1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點F（c，0），拋物線K₂：x²=2py（p＞0）的焦點為G，橢圓K₁與拋物線K₂在第一象限的交點為M，若拋物線K₂在點M處的切線l經(jīng)過橢圓K₁的右焦點，且與y軸交于點D．
（1）若點M（2，1），求c；
（2）求a、c、p的關(guān)系式；
（2）試問△MDG能否為正三角形？若能請求出橢圓的離心率，若不能請說明理由．

Answer 1

考點：圓錐曲線的綜合,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）代入點M（2，1）確定拋物線方程，求出點M處的切線，即可求出c；
（2）設(shè)出點M的坐標(biāo)，表示出切線方程，將y=0代入，即可得出c，再將點M的坐標(biāo)代入橢圓方程即可得出a、c、p的關(guān)系式；
（3）假設(shè)△MDG能為正三角形，從確定MD的斜率，得出p和c的關(guān)系，在代入（2）中的關(guān)系，得出a和c的關(guān)系式，同除a⁴即可得到關(guān)于e的方程．

解答： 解：（1）當(dāng)M點的坐標(biāo)為（2，1）時，
拋物線方程為x²=4y，
即y=

x2

4

．
其在點（2，1）M處切線方程為
y-1=x-2．
與x軸的交點為（1，0），
∴c=1．
（2）設(shè)M點的坐標(biāo)為（x0，

x02

2p

），（x₀＞0）
∵y=

1

2p

x2，
∴y′=

x

p

．
∴切線l：y-

x02

2p

=

x0

p

(x-x0)，
即：y=

x0

p

x-

x02

2p

．
令x=0得，D（0，

x02

2p

）．
∵切線l過右焦點F，
則x₀=2c，
∴y0=

x02

2p

=

2c2

p

．
∵點M在橢圓上，
∴

4c2

a2

+

4c4

(a2-c2)p2

=1．
（3）∵點G為拋物線的焦點，
∴MG=y0+

p

2

=

x02

2p

+

p

2

，
GD=yG-yD=

p

2

+

x02

2p

，
∴GD=MG，
即△MDG為等腰三角形，
若△MDG為等邊三角形，
則直線MD的傾斜角為30°，
即直線MD的斜率為

3

3

，
∴

2c

p

=

3

3

，
∴p=2

3

c，
代入

4c2

a2

+

4c2

(a2-c2)p2

=1得，
12c⁴-16a²c²+3a⁴=0，
同除a⁴得，12e⁴-16e²+3=0，
解得，e2=

4- 7

6

=

7-2 7 +1

12

=

( 7 -1)2

12

或e2=

4+ 7

6

＞1（舍去）
∴e=

7 -1

2 3

=

21 - 3

6

．
綜上，若△MDG能為正三角形，此時橢圓的離心率為

21 - 3

6

．

點評：本題主要考查拋物線的標(biāo)準方程和簡單幾何性質(zhì)，橢圓的標(biāo)準方程和簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用，以及利用齊次式求離心率的方法，屬于難題．